一変数の微分
一変数の微分は中学数学からの接続で上記のように解説できます。
二変数の微分
df(x,y) = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
二変数の微分は、偏微分と全微分という二つの概念を習います。∂f/∂xを「fをxで偏微分する」、∂f/∂yを「fをyで偏微分する」と呼びます。問題で、「二変数関数f(x,y)を全微分せよ」と言われたら、偏微分を二通り計算して、それぞれに微小量（dxとか、dyとか）を掛け算して、和にした式を解答欄に書けば正解です。
概念の違い
f(x,y) = x + 2y + 3
z(x,y) = x + y
f(x,y,z) = z + y + 3
f(x,y)とf(x,y,z)は、入力値x,yについて同じ値を示しますが、それぞれをyで偏微分した結果は異なります。
f(x,y)をyで偏微分すると2 …①
f(x,y,z)をyで偏微分すると1 …②
①の答えはyが1増えたときのfの増分と一致しています。②の答えは一致しません、なぜならzの増分が計算されていないからです。そもそも、yが微小量変化したときのfの増分とは全微分であって――全微分であればzの増分も計算します。それが上述の公式です。①はたまたま偏微分と全微分が一致しているに過ぎません。偏微分とは、ラッピングを素直に読み取って記述的に一変数の微分をしてみせるだけの処理です。∂f/∂yは、とりあえず素直にfをyの関数としたうえでの偏微分演算です。df/dyは、似て非なるもので、もっと骨が折れるものです。そのように考えると、∂xとdx、∂yとdyは全く別のもの、区別しないといけません。似ているからといって、約分など絶対にしてはいけません。
dxとdyは微小量と呼ばれる。微小量とは限りなくゼロに近い量という意味です。たとえば10000人の行列に1名新たに付け加わったとして、これを「限りなくゼロに近い人数で増えました」と報告するかは微妙ですが、そういう日本語を使うとして、何名までその取扱いになりますか。ここで行列全員が捌けるのにかかる時間が関心事だったとして、10000人に1名加わったときに増える時間的費用と10000人に2名加わったときに増える時間的費用は、後者が前者の2倍くらいなんじゃないかと直感で思います。ここで勘のいい読者の方は偏微分（の記号）に微小量が掛け算される理由が見えてきたと思います。
一変数の積分を引き合いに微小量について
∫f(x)dx
上記数式で最も意識を阻害する要素が∫だと思います。これから難しい話なのだなと思います。
f(x)dx
これだったらまだやる気が出ると思います。正解を言うとこれはf(x)とdxの掛け算です。
f(3)dx
x=3だと上記が正しいです。xとdxは違う文字です。dxは慣例的表記でxの微小量（ほとんどゼロ）を意味します。
f(3)dx = 0
掛け算であれば答えは0ということになります。dxがほとんどゼロなので。
0+0+0+0+0+0+0+0+…
0はいくつ足し算しても0ですが、
dx +dx +dx +dx +dx +dx +dx +dx +dx +…
dxは0ではないので、このようにずっと足していくと本当はいくらになるのかなと思います。
_ _ _ _ _ _ _ ……… _ _ _ _ _ _ _
逆に一定の長さの数直線を微小量で細切れにしてから全部足すと元の長さに戻らないといけません。
f(0) + f(1) + f(2) + …
さて、関数の値を足し合わせるとします。いま、横幅は1、高さはf(整数)の短冊の面積を足し合わせているのを同じです。この幅を1ではなく、微小量dxにするとどうなるかというと。
… + f(-dx-dx-dx)dx + f(-dx-dx)dx + f(-dx)dx + f(0)dx + f(dx)dx + f(dx+dx)dx + f(dx+dx+dx)dx + …
特にdxの幅に合わせて関数fの値を対応させたとします。
∫f(x)dx
それが上記なのです。
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